SECANTE

El Secante, (abreviado como sec), es la razón trigonométrica recíproca del coseno, o también su inverso multiplicativo:

Está representada como y=sec(x), y es también la inversa del coseno:

En un triángulo rectángulo, es la longitud de la hipotenusa dividida para la longitud del lado adyacente.

Las funciones trigonométricas circulares son aquellas que están referenciadas en la circunferencia. Usamos entonces la llamada circunferencia trigonométrica de radio unidad que se usa en el estudio de las funciones. De acuerdo con el cuadrante en el cual se encuentre el lado terminal de ángulo y tomando en cuenta que la distancia correspondiente a un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positivo, las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas. En el recuadro que se muestra a continuación podemos ver que signo corresponde a cada cuadrante si hablamos de secante.

La «secante circular del ángulo a», o, simplemente, «secante de a»

La función no tiene ceros ya que para que de existir tendría que poder anularse el numerador de la fracción 1/cos x y eso no ocurre nunca porque es una constante:

Características

Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {π/2 + k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X.

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.

    sec (- x) = sec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1)                        con   k∈Z.

6) Es periódica de periodo   2π .

     sec (x) = sec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = π/2 + k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

Forma geométrica

Sabiendo que

Tenemos que:

Otro planteamiento de la misma cuestión se hace trazando una perpendicular a r por B, esta perpendicular corta el eje x en J, así tenemos:

Esta solución es distinta de la anterior.

Ejemplos:

COTANGENTE

La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente. Es el recíproco o el inverso multiplicativo de la tangente, es decir tan α · cot α=1.

La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).

Su abreviatura es cot, cotg o cotan.

Forma geométrica

Si trazamos una recta horizontal que pase por F, corta a la recta r en G, con esto tenemos:

Otro planteamiento se hace trazando la recta perpendicular a r por B, que corta el eje y en K, con lo que tenemos:

Con lo que tenemos otra representación geométrica distinta de la anterior.

Propiedades

• Relación de la cotangente y la cosecante:

             cosec² α = 1 + cotg² α

• Relación de la cotangente y la tangente:

             cotg (π/2 - α) = tg α

• Cotangente del ángulo negativo:

             cotg (- α) = tg α

Características

Las características fundamentales de la función cotangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    No corta el eje Y .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

     cotg (- x) = - cotg (x)

6) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     cotg (x) = cotg (x + π)

     La función   f(x) = cotg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

Ejemplo:

TANGENTE

En matemáticas, la tangente es una función impar y es una función periódica de periodo $${\displaystyle \pi } con indeterminaciones, y además una función trascendente de variable real. El día de la tangente es el 3 de mayo. Su nombre se abrevia tan

En trigonometría, la tangente de un ángulo (de un triángulo rectángulo) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo ${\displaystyle \alpha .}$

Esta construcción permite representar el valor del tangente para ángulos no agudos.

La función tangente se define a partir del concepto de tangente, considerando que el ángulo siempre debe expresarse en radianes. Para poder entender la construcción de su gráfica resulta muy útil, como en el caso del seno y del coseno, ofrecer, en primer lugar, una interpretación gráfica de la tangente.
Es evidente que la coordenada y del punto resaltado es la tangente del ángulo, porque su coordenada x es siempre 1, y el cociente de ambas coordenadas ha de ser precisamente la tangente de α:

tgα=yx=y1=1

Semejanza:

Dada la circunferencia de radio 1 y una recta r que pasa por el centro, describe un triángulo rectángulo con ángulo $${\displaystyle \alpha } como en la imagen, y tenemos las siguientes relaciones por semejanzas:

El segmento $${\displaystyle DE} representa el valor de la tangente de 

Características

Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

      tg (- x) = - tg (x)

6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

       tg (x) = tg (x + π)

       La función   f(x) = tg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

         Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = π/2 + k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

Período:

Ejemplo:

COSENO

En matemáticas, el coseno es una función par y continua con periodo $${\displaystyle 2\pi }, y además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

En trigonometría, el coseno de un ángulo $${\displaystyle \alpha } de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa.

La función coseno es una función trigonométrica, que es el resultado del cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Dicho en fórmula:

Visto así parece muy abstracto. Intentad pensar en una circunferencia, de radio uno. Como sabéis, existe la llamada circunferencia trigonométrica, que, dividiendo a ésta en cuadrantes, nos permite representar las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Sin entrar en mucho detalle, decir que cada uno de esos cuadrantes mide 90º, por tanto, tomaremos un ángulo rectángulo que irá girando en torno a esta circunferencia, a medida que éste rota sus valores cambian dando lugar a los distintos valores del coseno.

Mostramos a continuación el triángulo insertado en una circunferencia dividida en cuatro cuadrantes:

El cateto adyacente se moverá hacia la izquierda, según aumente el grado del ángulo alfa, hasta llegar a dar una vuelta completa. Si tomamos esos movimientos de la base del triangulo rectángulo, podemos formar la función coseno y ponerla en una gráfica, siendo los valores entre los que se mueve, el 1 y el -1.

La función coseno, posee diversas características que nos ayudarán a reconocerla:

Características

1)  Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ cos x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.

    cos (x) = cos (- x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π + 2·k·π    y   b = 0 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = 0 + 2·k·π    y   b = π + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1)  con   k∈Z .
    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     cos (x) = cos (x + 2π)

     La función   f(x) = cos (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

Amplitud y período de una función coseno

La amplitud de la gráfica de y = a cos bx es la cantidad entre la cual varia por arriba y debajo del eje de las x .

Amplitud = | a |

El período de una función coseno es la longitud del intervalo más corto en el eje de las x sobre el cual la gráfica se repite.

Período = 

Ejemplos:

Dibuje las gráficas de y = cos x y y = 2 cos x . Compare las gráficas.

Para la función y = 2 cos x , la gráfica tiene una amplitud de 2. Ya que b = 1, la gráfica tiene un período de  . Así, se cicla una vez de 0 a  con un máximo de 2, y un mínimo de –2.

Observe las gráficas de y = cos x y y = 2 cos x . Cada una tiene la misma intercepción en x , pero y = 2 cos x tiene una amplitud que es el doble de la amplitud de y = cos x .