MATEMÁTICAS

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado​ o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general:

Ecuación de segundo grado

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X son las raíces reales de la ecuación. Si la parábola no corta el eje X las raíces son números complejos, corresponden a un discriminante negativo.

Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones. Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.

Soluciones de ecuaciones de segundo grado

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$Se usa ± para indicar las dos soluciones:

                              

Las ecuaciones de segundo grado se dividen en: ecuaciones completas y ecuaciones incompletas de segundo grado.

1.Ecuaciones completas de segundo grado

Son aquellos que tienen un término de segundo grado (es decir, un término «en X2»), un término lineal (es decir, «en x») y un término independiente, es decir, un número sin x. Un ejemplo de una ecuación de este tipo es la siguiente:

2×2 – 4x – 3 = 0

Tenga en cuenta que el coeficiente del término cuadrado se llama generalmente a, el término lineal es llamado por y el independiente se llama c, de modo que en este caso:

a = 2, b = -4 y c = -3.

Por esta razón, la forma de tipo de estas ecuaciones está representada por la siguiente expresión general:

ax^2+bx+c=0

2.Ecuaciones incompletas de segundo grado

Para simplificar, una ecuación de segundo grado no está completa cuando le falta uno de los tres términos que se han mencionado que existen en ecuaciones de segundo grado completas. Sí, está claro que el término cuadrado no puede fallar de lo contrario, éste no sería una ecuación de segundo grado.

Bien, hay dos tipos de ecuaciones incompletas de segundo grado: las que carecen del término lineal (es decir, el término «en x») y las que carecen del término independiente (es decir, la que no tiene x )

En el primer caso, falta el término que contiene el coeficiente llamado «b», por lo que la forma de tipo permanecerá de la siguiente manera:

ax^2 + c = 0

La ecuación cuadrática incompleta, en el segundo caso, falta el término independiente, es decir, el que contiene el coeficiente llamado «c», por lo que la forma del tipo permanecerá ahora como sigue: ax^2 + bx = 0

 Números de soluciones reales. Discriminante

 La ecuación de segundo grado:   ax2+bx+c=0   puede tener una, dos o ninguna solución Para averiguarlo sin tener que resolver la ecuación vamos a recurrir a la discriminante de una ecuación de segundo grado. El valor del discriminante (al que vamos a llamar D) viene dado por D = b2 - 4ac

·         Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

·         Si D = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales  (Una solución doble).

·         Si D < 0, la ecuación no tiene solución real.

Ejemplos: