MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIOFÁNTICA

Se llama "ecuación diofántica" o "ecuaciones diofantinas" a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros. Las ecuaciones diofantinas tienen la forma: ${\displaystyle ax+by=c\,}$

Propiedad: Una condición necesaria y suficiente para que la ${\displaystyle ax+by=c\,}$ con  perteneciente a los enteros, tenga solución es que el máximo común divisor de $a${\displaystyle a\,} y $b${\displaystyle b\,} divida a $c${\displaystyle c\,}

Solución particular

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da x2$x$e y2{\displaystyle y_{1}\,}.

Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

1.     Buscamos el d = mcd(6, 10). A través del algoritmo de Euclides encontramos que d  = 2.

2.     Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x₁ = 2 e y₁ = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.

3.     Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x₁ = 2 e y₁ = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104

4.     Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

Ecuación pitagórica

Se llama ecuación pitagórica a la ecuación {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\,} con x,y,z  . Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

1.     La terna alternando x e y: (y, x, z).

2.     Una terna múltiplo (ky, kx, kz).

3.     Una terna con algún signo cambiado (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z)

4.     Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores.

Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de x, y, z es la unidad, es decir, mcd(x,y,z) = 1. En toda terna primitiva al menos uno de los números x o y es par y z es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:

Aporte de Platón

A Platón se le debe un aporte sobre el caso cuando él formula como los lados de un triángulo rectángulo, en números enteros     

{\displaystyle 2n,n^{2}-1,n^{2}+1}

, sin duda alguna no tuvo influencia en el desarrollo matemático general.

Ternas pitagóricas

Cuando los números enteros positivos u, v, w representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la terna (u, v, w) se dice que es una terna pitagórica. Por ejemplo (3,4,5), (7,24,25) y (9, 40, 41) son ternas pitagóricas. 

Ecuación diofántica cúbica

La ecuación

{\displaystyle x^{3}+y^{3}=1729}

fue resuelta automáticamente por Ramanujan, quien dio como soluciones- contemplando las cifras que aparecían en la placa de un automóvil- los pares ordenados (1,12), (12,1) (10,9) (9,10).

Ejemplos: