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Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos (también llamado trinomio) que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}
es un trinomio cuadrado perfecto ya que
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=\,\!}

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1.     El trinomio puede ser ordenado en potencias descendentes de una variable.

2.     Dos de los términos son cuadrados perfectos.

3.     El tercer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.

4.     El primer y tercer término deben de tener el mismo signo

Un trinomio cuadrático general de la forma  es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la expresión  es siempre igual a .

También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: , donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.

Fórmula

Para convertir un binomio en un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) es necesario aplicar la siguiente fórmula: el primer término al cuadrado más 2 veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado 

Ejemplo:

{\displaystyle (2a+3b)^{2}\,\!}

Aplicamos la fórmula:

{\displaystyle (2a+3b)^{2}=}

{\displaystyle (2a)^{2}+2(2a)(3b)+(3b)^{2}=}

{\displaystyle 4a^{2}+12ab+9b^{2}\,\!}

Para revertir el TCP a la suma de monomios al cuadrado original, es necesario hallar la raíz cuadrada del primer y último términos:

{\displaystyle 4a^{2}+12ab+9b^{2}=\left({\sqrt {4a^{2}}}+{\sqrt {9b^{2}}}\right)^{2}=(2a+3b)^{2}}

Así queda demostrada la fórmula.

 Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercera letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

• a² + 2 a b + b² = (a + b)²

 

• a² − 2 a b + b² = (a − b)²