MATEMÁTICAS

Suma o diferencia de potencias impares

Son las expresiones de la forma a^n+b^n o a^n-b^n, donde “n” es un número impar, y su descomposición factorial se presenta de las formas siguientes:

La cantidad de términos del segundo factor será igual al número del exponente de las potencias.

Cuando es suma de potencias el primer factor es la suma de sus raíces y en el segundo factor, el signo entre los términos se va alternando.  El primer término será positivo, el segundo negativo, el tercero positivo, así sucesivamente hasta el último término.

Cuando es diferencia de potencias el primer factor es la diferencia de sus raíces y en el segundo factor el signo entre los términos será positivo para todos.

Procedimiento:

1) Extraer las raíces de las potencias del binomio

2) Sustituir los valores de las raíces en la fórmula respectiva.

3) Desarrollar y simplificar las operaciones para llegar a la solución.

Recordar que: toda potencia elevada al exponente 1 (x^1) es igual a la base “x”; y que toda potencia elevada al exponente 0 (x^0) es igual a la unidad (1).

Pasos:

1. Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar por este método).

2. Se sacan las raíces de cada termino.

3. Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz del primer término dado y el segundo término es la raíz del segundo término dado.

4. El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

5. Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).

6. En cada término se multiplicará el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada

7. En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

8. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).

9. Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.

10. Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.

Ejemplos: