MATEMÁTICAS

ECUACIONES DE TERCER GRADO

Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es aquella de grado tres que se puede poner bajo la forma canónica:

Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.

Función cúbica

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Se escribe de la siguiente manera:

donde los coeficientes son números racionales y siempre a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones tienen como elementos a los números reales.

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática y su integral, una función cuártica.

Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (1)}$

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un anillo (enteros) o campo, usualmente el campo de los números reales o el de los complejos. Las soluciones están generalmente en un cuerpo que incluye al anillo de los coeficientes. 

Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

${\displaystyle \Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,}$

Los siguientes casos necesitan ser considerados: ​

·         Si , entonces la ecuación tiene tres raíces reales distintas.

·         Si , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).

·         Si , entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas -no reales- conjugadas.

El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentaron resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C${\displaystyle \mathbb {C} }$, extensión algebraica cerrada de R ${\displaystyle \mathbb {R} }$. La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante ${\displaystyle \Delta }$  sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en  y  y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

Dado que se sabe que al menos habrá una solución real, también es posible resolverla aproximadamente con métodos numéricos, como por ejemplo el método de Newton-Raphson. 

Ejemplo: