MATEMÁTICAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Ecuación de primer grado y una variable

En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.

Para resolver las ecuaciones de primer grado se deben seguir los pasos que se señalan a continuación:

1. Se reducen los términos similares, cuando sea posible.

2. Se realiza la transposición de términos (se aplica la inversa aditiva o multiplicativa), donde aparezca la incógnita se ubica del lado izquierdo y los que no la tenga en la derecha.

3. Se reducen los términos similares, en la medida de lo posible.

4. Se despeja la incógnita, aplicando cociente a los dos factores de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo) y se simplifica.

En una incógnita

Una ecuación de una variable definida sobre un cuerpo , es decir , con   donde x es la variable, admite la siguiente solución:

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n, si el anillo es un dominio de integridad:

En dos incógnitas

En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

Donde $m${\displaystyle m} representa la pendiente y el valor de $n${\displaystyle n} determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las ecuaciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas, cuando los coeficientes de la ecuación pertenecen a un cuerpo. Así una función lineal de dos variables de la forma siguiente:{\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}

representa una recta en un plano. En varias variables asumiendo que tanto las variables ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {K} }$ y los coeficientes ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }$, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un cuerpo entonces una ecuación lineal como la siguiente:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}}$representa un hiperplano de n-1 dimensiones en el espacio vectorial n-dimensional ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}5\,x&-&3\,y&+&4\,z&=&8\\-3\,x&+&2\,y&+&6\,z&=&5\\4\,x&-&5\,y&+&3\,z&=&3\end{array}}\right.}

Si se consideran n ecuaciones de primer grado linealmente independientes definidas sobre un cuerpo entonces existe solución única para el sistema si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada mediante la regla de Cramer que es aplicable a cualquier cuerpo. Si las ecuaciones no son linealmente independientes o no se dan las condiciones del teorema la situación es más complicada. Si el sistema se plantea sobre un anillo conmutativo que no sea un cuerpo, la existencia de soluciones es también más complejas.

 Ejemplos: