ROMBO

El rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud.

Un rombo es cualquier paralelogramo que posee lados congruentes.

1.     Las diagonales de un rombo cuentan con propiedades usadas en la fabricación de periscopios, para ello se utilizan rombos cuyos ángulos son rectos.

2.     Un rombo con un ángulo recto se llama cuadrado

Elementos:

§  Lados: el rombo tiene cuatro lados (a) iguales.

§  Ángulos: tiene cuatro ángulos (dos α y dos β) iguales dos a dos. Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).

§  Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares. Se cortan en el centro del rombo. Las diagonales son las bisectrices de los ángulos. También son ejes de simetría.

§  Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simétricas respecto a dicho eje. Tiene dos ejes de simetría (E₁, E₂) que coinciden con las diagonales.

Un caso particular de rombo es el cuadrado, donde todos los ángulos son iguales (es decir, (α=β). Los ángulos serán todos rectos (de 90º) y las diagonales iguales.

Perímetro del rombo

El perímetro de un rombo podemos hallarlo por sus lados o por sus diagonales.

El perímetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a), ya que tiene sus cuatro lados iguales.

perímetro = lado + lado + lado + lado

Para hacerlo, debemos saber que el valor de las diagonales y el del lado están relacionados.

Volvamos a la figura de arriba, en la cual aparece un triángulo coloreado en verde. Ese triángulo está formado por un cateto o lado que es la mitad de la diagonal mayor (D/2), otro cateto o lado que es la mitad de la diagonal menor (d/2) y por la hipotenusa (a), que es a su vez lado del rombo.

Entonces, recordemos, para aplicarlo, el Teorema de Pitágoras :

Reemplacemos los valores y tendremos:

Área del rombo

área = lado por lado (cuando conocemos el valor de su lado).

En ocasiones se conoce solo el valor de las diagonales , las que, como sabemos, son perpendiculares en un rombo. Usando esos valores también podemos calcular el área del rombo.

veremos que el rombo (zona coloreada) corresponde exactamente a la mitad del rectángulo que se obtiene con la proyección de sus diagonales (D y d) .

También podemos decir que los lados del rectángulo corresponden a las diagonales del rombo.

Y como el área del rectángulo se obtiene multiplicando ancho por alto (A =  D por d), entonces el área del rombo será la mitad de eso:

Ejemplos:

CIRCUNFERENCIA

Un círculo es una superficie plana limitada por una línea curva (circunferencia). A menudo se utiliza indistintamente círculo y circunferencia para nombrar la misma cosa, pero esto no es correcto. Circunferencia es una curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes (están a la misma distancia) del centro, y sólo posee longitud de la circunferencia, es decir, el perímetro del círculo.

Cabe destacar que, aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse: la circunferencia es la línea curva y el círculo la superficie de la figura. El círculo, al ser una figura plana (todos sus puntos están contenidos en un solo plano) tiene dos dimensiones y por lo tanto tiene área.

Elementos:

- Circunferencia: la circunferencia de un círculo es la línea curva que forma el límite de la figura.

- Radio: es el punto que uno el centro de la figura con la circunferencia.

- Diámetro: línea recta que uno el centro de la figura con dos puntos de la circunferencia.

- Tangente: recta que toca a la figura exactamente por un punto.

- Secante: recta que corta el perímetro del círculo en dos puntos.

- Cuerda: segmente que une dos puntos del círculo sin pasar por el centro de la figura.

- Arco: Parte del perímetro del círculo que queda comprendido entre dos extremos de la cuerda.

- Punto interior: punto que pertenece al círculo, es decir, está dentro de él.

- Punto exterior: punto que se sitúa fuera del círculo.

- Ángulo central: es el ángulo formado por dos radios que van del centro a dos puntos del perímetro del círculo.

- Ángulo inscrito: es el ángulo formado por dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia. Es decir, ángulo que se genera con la unión de tres puntos de la misma.

Perímetro del círculo

El perímetro de un círculo es el doble del producto de π por el radio (r). También se puede calcular a partir del diámetro (D), siendo el producto de π y el diámetro.

Área del círculo

La fórmula para calcular el área del círculo es:

 Ejemplos:

Calcula el área de un círculo cuyo radio es igual a 20 cm.

Tenemos como dato que el r=20 cm.

Por tanto, a partir de la fórmula del área del círculo:

Sustituimos r por 20 y operamos:

El área del círculo es de 1256,63 cm²

RECTÁNGULO

En geometría plana, un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. 

Los lados opuestos tienen la misma longitud. El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados.

El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos.

Propiedades:

1.     Sus lados paralelos son iguales.

2.     Sus dos diagonales son iguales, y se bisecan mutuamente en el punto medio común; (esta característica también lo define). Este punto es el centro de la figura, en el sentido que toda recta que pasa por él, corta al rectángulo en dos puntos equidistantes del centro, por lo que define una simetría respecto a un punto para los puntos del rectángulo.

3.     El rectángulo tiene dos simetrías axiales, respecto a ejes paralelos a sus lados y que pasan por el centro.

4.     Cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, dos de cuyos diámetros coinciden con las diagonales del rectángulo.

5.     Usando como base de un triángulo una base del rectángulo y el punto medio del lado opuesto, como vértice opuesto, resulta un triángulo isósceles de área igual a la mitad de la del rectángulo.

6.     Empleando como base de cualquier triángulo la base del rectángulo y como vértice opuesto un punto que dista como la altura del rectángulo, se obtiene una familia de triángulos equivalentes y cuyos vértices forman un lugar geométrico: la recta paralela a la base del rectángulo.

7.     Si se unen los puntos medios M, N; P, Q de sendos lados de un rectángulo, mediante segmentos se genera el rombo MNPQ. 

Características:

1- Número de lados y dimensión

Los rectángulos están compuestos por cuatro lados. Podemos dividir estos lados en dos pares: un par de lados mide lo mismo, mientras que el otro par tiene medidas superiores o inferiores al par anterior.

Los lados que se oponen tienen las mismas medidas, mientras que los consecutivos tienen medidas diferentes.

Sumado a esto, los rectángulos son figuras bidimensionales, lo que quiere decir que sólo tienen dos dimensiones: ancho y alto.

2- Polígono

Para ser más específicos, los rectángulos son polígonos cuadriláteros, porque tienen cuatro lados.

3- No son polígonos equiláteros

Un polígono es equilátero cuando todos sus lados miden lo mismo. Los lados de un rectángulo no tienen las mismas medidas. Por este motivo, no se puede decir que los rectángulos son equiláteros.

4- Polígono equiángulo

Los polígonos equiángulos son aquellos en que están conformados por ángulos que tienen la misma amplitud.

Todos los rectángulos están conformados por cuatro ángulos rectos (es decir, ángulos de 90°). Un rectángulo de 10 cm x 20 cm tendrá cuatro ángulos de 90 °, lo mismo ocurrirá con un rectángulo de mayor o menor medida.

5- El área de un rectángulo

El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura, siendo la base el lado horizontal mientras que la altura es el lado vertical. Una forma más simple de verlo es multiplicar las medidas de dos lados contiguos.

La fórmula para calcular el área de esta figura geométrica es:

a = b x A

Algunos ejemplos del cálculo del área de un rectángulo son:

– Rectángulo con base de 5 cm y altura de 2 cm. 5 cm x 2 cm =  10 cm²

– Rectángulo con base de 2 m y altura de 0, 5 m. 2 m x 0,5 m = 2 m²

– Rectángulo con base de 18 m y altura de 15 m. 18 m x 15 m = 270 m²

6- Los rectángulos son paralelogramos

Los cuadriláteros se pueden clasificar en tres tipos: trapezoides, trapecios y paralelogramos. Estos últimos se caracterizan por tener dos pares de lados paralelos, que no necesariamente tienen que tener las mismas medidas.

En este sentido, los rectángulos son paralelogramos, puesto que dos pares de lados se enfrentan.

7- Los ángulos opuestos son congruentes y los consecutivos son complementarios

Los ángulos opuestos son aquellos que se encuentran en los vértices no consecutivos de la figura. Mientras que los ángulos consecutivos son aquellos que se encuentran adyacentes, uno al lado del otro.

Dos ángulos son congruentes cuando estos tienen la misma amplitud. Por su parte, dos ángulos son complementarios cuando la suma de las amplitudes de estos produce un ángulo de 180°, o lo que es lo mismo, un ángulo llano.

Todos los ángulos de un rectángulo miden 90°, por lo que se puede decir que los ángulos opuestos de esta figura geométrica son congruentes.

Con respecto a los ángulos consecutivos, el rectángulo está compuesto por ángulos de 90°. Si se suman los consecutivos, el resultado será 180°. Entonces, se trata de ángulos complementarios.

8- Está formado por dos triángulos rectángulos

Si se traza una diagonal en el rectángulo (una recta que va de un ángulo del rectángulo hasta otro que es opuesto), se obtienen dos triángulos rectángulos. Este tipo de triángulo es aquel que está formado por un ángulo recto y dos ángulos agudos.

9- Los diagonales se cortan en su punto medio

Como ya se explicó, los diagonales son las líneas que van de uno de los ángulos hasta otro ángulo opuesto. Si se trazan dos diagonales en el rectángulo, estas se cruzarán en el punto medio de la figura.

Simetría:

1.     Las dos rectas perpendiculares entre sí, paralelas a los lados contiguos y que pasan por el centro del rectángulo, son ejes de simetría axial de los puntos del rectángulo.

2.     El centro del rectángulo (intersección de las diagonales) es el centro de simetría central de los puntos del rectángulo.

Ejemplos:

TRIÁNGULO

Se llama triángulo o trígono, en geometría plana, al polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores, tres lados y tres vértices entre otros elementos.

El triángulo es un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura más simple, después de la recta en la geometría. Como norma general un triángulo se representa con tres letras mayúsculas de los vértices (ABC).

Propiedades:

• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 °.
• Cada triángulo equilátero es equiangular, es decir, las medidas de sus ángulos internos son iguales, en este caso cada ángulo mide 60 °
• Si dos lados de un triángulo tienen la misma medida, entonces los ángulos opuestos también son de igual medida.
• En un triángulo, un mayor lado se opone a un mayor ángulo.
• El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
• Un lado de un triángulo es más pequeño que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a (b + c a b) – c

Perímetro de un triángulo

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

Triángulo Equilátero	Triángulo Isósceles	Triángulo Escaleno

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.

La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ejemplos:

CUADRADO

Un cuadrado en geometría es un cuadrilátero regular, es decir, una figura plana de cuatro lados iguales y cuatro ángulos interiores rectos (90°).

Un cuadrado consiste en cuatro puntos unidos por segmentos de igual medida, que encierran una región del plano, formando ángulos rectos.

Propiedades

Por ser cuadrilátero, hereda las siguientes propiedades:

·         Tiene solo dos diagonales.

·         Sus ángulos internos suman 360°.

A partir de la definición euclidiana reducida y aplicando deducción se pueden demostrar las siguientes propiedades del cuadrado:

·         Es un paralelogramo.

o    Tiene lados opuestos paralelos.

·         Sus diagonales tienen la misma longitud.

o    Sus diagonales se bisecan en el baricentro.

o    Sus diagonales son perpendiculares entre sí.

o    Sus diagonales bisecan los ángulos por los que pasa.

o    Tiene cuatro ejes de simetría que pasan por el baricentro, un par son perpendiculares a los lados y el otro par contiene las diagonales.

Formulario

Fórmulas en función del lado ${\displaystyle a}$ del cuadrado:

• Perímetro: ${\displaystyle p=4\cdot a}$
• Longitud de cada diagonal: ${\displaystyle d=a\cdot {\sqrt {2}}}$
• Área: ${\displaystyle A=a^{2}}$

Fórmulas en función de la diagonal ${\displaystyle d}$ del cuadrado:

• Longitud de cada lado: ${\displaystyle a=d\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
• Perímetro: ${\displaystyle p=d\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}}$
• Área: ${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}}$

Cómo calcular el área de un cuadrado

El área del cuadrado se calcula multiplicando lado por lado, o lo que es lo mismo, elevando la longitud de un lado al cuadrado:

Cómo calcular el perímetro de un cuadrado

El perímetro de un cuadrado es la suma de todos sus lados:

Ejemplos:

Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de 6 cm de lado.

Calculamos el área multiplicando lado por lado:

El área se mide en cm², ya que los lados están en cm.

El perímetro lo podemos calcular sumando los cuatro lados:

O bien, multiplicando la longitud de un lado por 4:

Como los lados están en cm, el perímetro también se mide en cm.