Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos (también llamado trinomio) que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}
es un trinomio cuadrado perfecto ya que
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=\,\!}

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1.     El trinomio puede ser ordenado en potencias descendentes de una variable.

2.     Dos de los términos son cuadrados perfectos.

3.     El tercer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.

4.     El primer y tercer término deben de tener el mismo signo

Un trinomio cuadrático general de la forma  es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la expresión  es siempre igual a .

También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: , donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.

Fórmula

Para convertir un binomio en un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) es necesario aplicar la siguiente fórmula: el primer término al cuadrado más 2 veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado 

Ejemplo:

{\displaystyle (2a+3b)^{2}\,\!}

Aplicamos la fórmula:

{\displaystyle (2a+3b)^{2}=}

{\displaystyle (2a)^{2}+2(2a)(3b)+(3b)^{2}=}

{\displaystyle 4a^{2}+12ab+9b^{2}\,\!}

Para revertir el TCP a la suma de monomios al cuadrado original, es necesario hallar la raíz cuadrada del primer y último términos:

{\displaystyle 4a^{2}+12ab+9b^{2}=\left({\sqrt {4a^{2}}}+{\sqrt {9b^{2}}}\right)^{2}=(2a+3b)^{2}}

Así queda demostrada la fórmula.

 Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercera letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

• a² + 2 a b + b² = (a + b)²

 

• a² − 2 a b + b² = (a − b)²

Suma o diferencia de cubos
Recordamos de cocientes notables que:

Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:

De donde se deducen las siguientes reglas:

• La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. 

La suma o diferencia de dos cubos puede factorizarse en un producto de un binomio por un trinomio.

Esto es,  y  .

Una mnemónica para los signos de la factorización es la palabra "SOAP", las letras indican "Same sign (mismo signo)" como en el medio de la expresión original, "Opposite sign (signo opuesto)", y "Always Positive (siempre positivo)".

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Factorice .

Intente escribir cada uno de los términos como un cubo de una expresión.

 

Use la factorización de la suma de cubos para reescribir.

Trinomio

En álgebra, un trinomio es una expresión algebraica de únicamente tres monomios, sumados o restados.​ Ejemplos de trinomios con, variables. con, variables. con variable, las constantes son enteros positivos y, constantes arbitrarias. , trinomio de segundo grado de dos variables homogéneo. , de tres variables. Es expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de tres términos o monomios.

Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx +c

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado () se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo).  Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

1. Multiplicamos el coeficiente “a” del factor “a” por cada término del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b(ax)”, y en el término “a” de la manera .

2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término  la que sería “ax”.

3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5. Se buscarán los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplos

Casos diversos

Trinomio cuadrado perfecto

Visualización de la fórmula para un cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. verdee

Trinomio irreducible

·         Un trinomio es irreducible en ℚ si no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean números racionales así como ${\displaystyle x^{2}+4x+1}$

·         Un trinomio es irreducible en ℝ cuando no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean reales.

Trinomio de segundo grado en una variable

Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos. Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibniz, en la época moderna.

Trinomios usuales

1.      que igualado a 0 , se conoce como la ecuación general de segundo grado en una variable

2.     {\displaystyle x^{2}+px+q} si se hace igual a 0 origina la forma reducida de una ecuación de segundo grado

3.     {\displaystyle y^{3}+py+q} igualando a 0, origina la ecuación cúbica reducida de una variable, a la que se puede aplicar la fórmula de Cardano.

4.     {\displaystyle x^{2}+x+1} sus ceros son las raíces cúbicas no reales de 1. 

5.     {\displaystyle x^{4}+x^{2}+1}= {\displaystyle (x^{2}+x+1)\times (x^{2}-x+1)}. Sus ceros son la raíces cúbicas no reales de 1 y -1, respectivamnete.

Aplicaciones

1. Los trinomios factorizables en binomios lineales se usan en operaciones con fracciones algebraicas y al calcular el MCM y MCD de expresiones algebraicas enteras.
2. En la descomposición en fracciones parciales, aparecen binomios lineales y trinomios cuadráticos;

Por ejemplo:

Ejemplos

1.      con x, y ,z ,variables.

2.     con t, s, y variables.

3.     {\displaystyle Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c}} con  variable, las constantes a,b,c son enteros positivos y P , Q, R constantes arbitrarias.

4.     , trinomio de segundo grado de dos variables homogéneo.

5.    {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}, de tres variables.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

La diferencia de cuadrados es una práctica que necesitamos tener clara para seguir avanzando en nuestro curso de Álgebra. Lo primero de todo es entender el concepto, saber qué significa la diferencia de cuadrados y cómo podemos ponerla en práctica. Por lo tanto, empecemos por el principio, la definición de diferencia de cuadrados.

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

 

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos a seguir para calcula la diferencia de cuadrados:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Factorización de una diferencia de cuadrados

La factorización de una diferencia de cuadrados está formada por una ecuación con dos términos: uno positivo y el otro, negativo. Ambos deben de ser raíces cuadradas exactas. Y lo que se hace es realizar una resta entre ellos. De ahí el nombre de factorización por diferencia de cuadrados.

Patrón de diferencia de cuadrados

·         Cada polinomio que sea una diferencia de cuadrados se puede factorizar al aplicar la siguiente fórmula:

$$                                              a2−b2=(a+b)(a−b)

·         Observa que, en el patrón, pueden ser una expresión algebraica. Por ejemplo, para x y b=2 obtenemos lo siguiente:

                                                         

                                              x2−22=(x+2)(x−2)

·         El polinomio $-$
x2-4x2−4x, 4 ahora se expresa en forma factorizada,(x+2)(x-2)(x+2)(x-2) .Podemos desarrollar el lado derecho de esta ecuación para justificar la factorización:

(                                                 (x+2)(x-2)=x(x−2)+2(x−2)
            =x
2−2x+2x−4
            =x2-4

·        

Ejemplos:

• x² - 9 = (x + 3).(x - 3)

         x     3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

•  x² - 4 = (x + 2).(x - 2)

            x     2 

• a² - 100 = (a + 10).(a  -10)

          a     10

• 25 - x² = (5 + x).(5 - x)

          5     x
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